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织梦做的网站首页出现空白,设计网站流程,爱网盘,wordpress自定义连接文章目录OF 最高位的进位 XOR 次高位的进位1. 有符号数溢出的本质2. 为什么用XOR#xff08;异或#xff09;#xff1f;3. 从二进制角度理解情况1#xff1a;正溢出#xff08;正正负#xff09;情况2#xff1a;负溢出#xff08;负负正#xff09;情况3#xff1…文章目录OF 最高位的进位 XOR 次高位的进位1. 有符号数溢出的本质2. 为什么用XOR异或3. 从二进制角度理解情况1正溢出正正负情况2负溢出负负正情况3正常无溢出4. 图形化解释5. 数学推导公式回顾为什么这能检测溢出6. 实际电路实现7. 示例验证8. 为什么这个公式优雅总结OF 最高位的进位 XOR 次高位的进位这个公式是理解有符号数溢出检测的关键。让我详细解释为什么是这样1. 有符号数溢出的本质有符号数溢出发生在结果超出了有符号数的表示范围。具体来说正溢出两个正数相加结果变成了负数负溢出两个负数相加结果变成了正数这两种情况都表明结果的符号位与预期不符。2. 为什么用XOR异或XOR异或运算的特性是相同为0不同为1。如果最高位进位(C7)和次高位进位(C6)相同​ → 没有溢出如果最高位进位(C7)和次高位进位(C6)不同​ → 有溢出这是因为这两个进位是否一致反映了符号位是否正确反映了结果的实际大小。3. 从二进制角度理解情况1正溢出正正负例子01111111 (127) 00000001 (1) 10000000 (-128) C61 (第6位有进位到第7位) C70 (第7位没有进位到第8位) OF 0 XOR 1 1这里发生了什么两个正数相加结果的MSB应该是0但由于数值部分有进位导致MSB变成了1第6位的进位(C61)表示数值部分太大但第7位没有进位(C70)表示符号位被错误设置两者不同 → 溢出情况2负溢出负负正例子10000000 (-128) 10000000 (-128) 00000000 (0) C60 (第6位没有进位到第7位) C71 (第7位有进位到第8位) OF 1 XOR 0 1这里发生了什么两个负数相加结果的MSB应该是1但由于数值部分不足导致MSB变成了0第6位没有进位(C60)表示数值部分计算正常但第7位有进位(C71)表示符号位被改变两者不同 → 溢出情况3正常无溢出例子00000010 (2) 00000011 (3) 00000101 (5) C60 (第6位没有进位到第7位) C70 (第7位没有进位到第8位) OF 0 XOR 0 0例子11111110 (-2) 11111101 (-3) 11111011 (-5) C61 (第6位有进位到第7位) C71 (第7位有进位到第8位) OF 1 XOR 1 0注意第二个例子两个负数相加第6位有进位(C61)数值部分计算正常第7位也有进位(C71)符号位保持为1两者相同 → 无溢出4. 图形化解释考虑8位加法关注最后两位第6位和第7位C6 → 第7位(符号位) → C7 ↑ ↑ 数值部分 溢出位当C6和C7相同时表示数值部分的变化与符号位的变化一致。当C6和C7不同时表示出现了不一致C61, C70数值部分有进位但符号位没有 → 正溢出C60, C71数值部分无进位但符号位有 → 负溢出5. 数学推导公式回顾对于n位数最高位是第n-1位符号位OF Cₙ₋₁ XOR Cₙ₋₂Cₙ₋₁第n-1位的进位符号位的进位Cₙ₋₂第n-2位的进位次高位的进位为什么这能检测溢出设A, B两个加数S A Baₙ₋₁, bₙ₋₁, sₙ₋₁A, B, S的符号位cₙ₋₂第n-2位向第n-1位的进位cₙ₋₁第n-1位向第n位的进位有符号数溢出发生在(aₙ₋₁ bₙ₋₁) 且 (sₙ₋₁ ≠ aₙ₋₁)即两个同号数相加结果的符号与加数符号不同。现在分析sₙ₋₁的计算sₙ₋₁ aₙ₋₁ XOR bₙ₋₁ XOR cₙ₋₂由于aₙ₋₁ bₙ₋₁所以sₙ₋₁ 0 XOR cₙ₋₂ cₙ₋₂那么溢出条件变为cₙ₋₂ ≠ aₙ₋₁同时cₙ₋₁的计算为cₙ₋₁ (aₙ₋₁ AND bₙ₋₁) OR (aₙ₋₁ AND cₙ₋₂) OR (bₙ₋₁ AND cₙ₋₂)由于aₙ₋₁ bₙ₋₁cₙ₋₁ aₙ₋₁ OR (aₙ₋₁ AND cₙ₋₂) aₙ₋₁所以当aₙ₋₁ bₙ₋₁时cₙ₋₁ aₙ₋₁溢出条件cₙ₋₂ ≠ aₙ₋₁变为cₙ₋₂ ≠ cₙ₋₁因此溢出条件等价于OF cₙ₋₁ XOR cₙ₋₂6. 实际电路实现在CPU的ALU中这是通过硬件电路实现的┌─────────┐ C6 ───→│ │ │ XOR ├──→ OF C7 ───→│ │ └─────────┘这个简单的XOR门就可以检测有符号溢出而不需要知道操作数的符号。7. 示例验证让我用一个8位加法的真值表来验证情况a₇b₇c₆c₇预期OF计算OF (c₇ XOR c₆)正正无溢出000000正正溢出001011负负无溢出110101 XOR 0?负负溢出111010 XOR 1?等等这里似乎有问题。让我们仔细分析负负的情况对于负数相加c₆和c₇应该相同才能无溢出。让我修正实际例子-2 (-3) -511111110 (-2) 11111101 (-3) --------- 11111011 (-5) c₆ 1 (第6位有进位到第7位) c₇ 1 (第7位有进位到第8位) OF 1 XOR 1 0 ✓负溢出例子-128 (-128) -25610000000 (-128) 10000000 (-128) --------- 00000000 (0, 进位1被丢弃) c₆ 0 (第6位无进位到第7位) c₇ 1 (第7位有进位到第8位) OF 1 XOR 0 1 ✓8. 为什么这个公式优雅这个公式的美妙之处在于与操作数符号无关不需要检查操作数的符号纯硬件实现只需要两个进位位的XOR统一检测同时检测正溢出和负溢出可扩展适用于任意位宽总结OF 最高位进位 XOR 次高位进位​ 这个公式之所以有效是因为它巧妙地检测了有符号数加法中符号位变化的合理性。当数值部分的进位模式与符号位的进位模式不一致时就发生了有符号溢出。这种不一致性通过XOR运算恰好能检测出来。