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临沂个人做网站,河北省建设工程招标投标协会网站,商河县做网站公司,网络销售怎么样在牛顿力学中#xff0c;会涉及像平抛#xff0c;斜抛#xff0c;圆周等曲线运动#xff0c;所以需要一个一般的结论。 以下推导中#xff0c;用 er⃗\vec{e_r}er​​ 表示法向单位向量#xff0c;指示半径方向#xff0c;长度为 111#xff0c;同理用 eθ⃗\vec{e_\th…在牛顿力学中会涉及像平抛斜抛圆周等曲线运动所以需要一个一般的结论。以下推导中用er⃗\vec{e_r}er​​表示法向单位向量指示半径方向长度为111同理用eθ⃗\vec{e_\theta}eθ​​表示切向单位向量指示切线方向长度为111速度是切向的则速度的向量可以认为是半径的长度乘上单位向量v⃗veθ⃗\vec{v} v\vec{e_\theta}vveθ​​可以知道加速度速度是速度的导数那么有a⃗dv⃗dtddt(veθ⃗)\vec{a} \frac{d\vec{v}}{dt} \frac{d}{dt}(v\vec{e_\theta})adtdv​dtd​(veθ​​)由求导的乘法法则a⃗eθ⃗dvdtvdeθ⃗dt\vec{a} \vec{e_\theta} \frac{dv}{dt}v\frac{d\vec{e_\theta}}{dt}aeθ​​dtdv​vdtdeθ​​​从式子中可以看出eθ⃗\vec{e_\theta}eθ​​指示切向方向则切向加速度为aθ⃗eθ⃗dvdt\vec{a_\theta} \vec{e_\theta} \frac{dv}{dt}aθ​​eθ​​dtdv​由下图在图上可以看出当转过角度dθd\thetadθ足够小deθ⃗d\vec{e_\theta}deθ​​逐渐接近对应弧长方向指向圆心则用弧长公式可以算出deθ⃗∣eθ⃗∣⋅er⃗dθer⃗dθd\vec{e_\theta} |\vec{e_\theta}| \cdot \vec{e_r} d\theta \vec{e_r}d\thetadeθ​​∣eθ​​∣⋅er​​dθer​​dθ所以deθ⃗dter⃗dθdter⃗dθdt\frac{d\vec{e_\theta}}{dt} \frac{\vec{e_r}d\theta}{dt} \vec{e_r}\frac{d\theta}{dt}dtdeθ​​​dter​​dθ​er​​dtdθ​带入上式vdeθ⃗dtver⃗dθdtver⃗dθds⋅dsdtv2er⃗dθdsv\frac{d\vec{e_\theta}}{dt} v\vec{e_r}\frac{d\theta}{dt} v\vec{e_r}\frac{d\theta}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} v^2 \vec{e_r}\frac{d\theta}{ds}vdtdeθ​​​ver​​dtdθ​ver​​dsdθ​⋅dtds​v2er​​dsdθ​由弧长公式可知dsdθρ\frac{ds}{d\theta} \rhodθds​ρ其中ρ\rhoρ是曲率半径即这一小段弧所对的半径则dθds1ρ\frac{d\theta}{ds} \frac{1}{\rho}dsdθ​ρ1​代入得到ar⃗v2ρer⃗\vec{a_r} \frac{v^2}{\rho}\vec{e_r}ar​​ρv2​er​​整合得到{aθ⃗eθ⃗dvdtar⃗v2ρer⃗ \begin{cases} \vec{a_\theta} \vec{e_\theta} \frac{dv}{dt} \\ \vec{a_r} \frac{v^2}{\rho}\vec{e_r} \end{cases}{aθ​​eθ​​dtdv​ar​​ρv2​er​​​由牛顿第二定律FmaF maFma则{FθmdvdtFrmv2ρ \begin{cases} F_\theta m\frac{dv}{dt} \\ F_r m\frac{v^2}{\rho} \end{cases}{Fθ​mdtdv​Fr​mρv2​​对于圆周ρr\rho rρr则上式变成:{FθmdvdtFrmv2r \begin{cases} F_\theta m\frac{dv}{dt} \\ F_r m\frac{v^2}{r} \end{cases}{Fθ​mdtdv​Fr​mrv2​​这与直接推导圆周轨道的结论是一致的